Часть вторая

Теоретические основы построения чертежа

Глава 11. Метрические задачи

§ 69. Определение истинной величины расстояний

Некоторые задачи на определение расстояний рассматривались ранее, например, определялись: натуральная величина отрезка прямой линии методом треугольника (см. § 42), натуральная величина отрезка способом плоскопараллельного переноса (см. § 57). Последняя может быть также решена способом замены плоскостей (см. § 58) или способом вращения (см. § 59).

Определение длины отрезка прямой позволяет решить задачу определения расстояния от точки до точки, так как это расстояние и определяется отрезком прямой. Расстояние от точки до прямой измеряется отрезком перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Значит, нужно преобразовать чертеж данной прямой, сделав ее в новой системе плоскостей проекций проецирующей (см. § 58, задача 2). На рис. 140 определено расстояние от точки М до прямой АВ:

Рис. 140

1) П₂ ⊥ П₁ → П₁ ⊥ П₄, П₄ ׀׀ AB, П₁/П₄ ׀׀ A₁B₁;

2) П₁П₄ → П₄ ⊥ П₅, П₅ ⊥ AB, П₄/П₅ ⊥ A₄B₄;

3) M₅K₅ - истинное расстояние от точки М до прямой АВ;

4) чтобы построить проекции перпендикуляра МK в исходной системе плоскостей, строят основание перпендикуляра - точку К - на прямой АВ из условия, что в системе П₄ ⊥ П₅ он занимает положение линии уровня, т.е. M₄K₄ ⊥ A₄B₄. Горизонтальная и фронтальная проекции точки К определяются по линиям из условия принадлежности ее прямой АВ.

Расстояние от точки до плоскости измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже "вырожденную" проекцию данной плоскости, т. е. преобразовать чертеж (см. § 58, задача 3).

На рис. 141 построены проекции перпендикуляра МК, отрезок которого определяет расстояние от точки М до плоскости (ABC):

Рис. 141

1) П₁ ⊥ П₂ → П₁ ⊥ П₄, П₄ ⊥ Θ, П₁/П₄ ⊥ h₁, h(A, 1) ∈ Θ

2) М₄К₄ ⊥ Θ₄ - истинная величина расстояний от точки М до плоскости Θ;

3) M₁K₁ ⊥ K₄K₁ или ׀׀ П₁/П₄

4) K₂ построена с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется отрезком перпендикуляра между ними.

На рис. 142 определено расстояние между прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых.

Рис. 142

Сначала построено изображение прямых на плоскости П₄ ⊥ П₁. В этой системе плоскостей прямые занимают положение линии уровня:

a(b) ׀׀ П₄; П₁/П₄ ׀׀ a₁(b₁)

В системе плоскостей П₄ ⊥ П₅ прямые занимают проецирующее по отношению к плоскости П₅ положение: П₅ ⊥ a(b); П₄/П₅ ⊥ a₄(b₄). Отрезок M₅K₅ между вырожденными проекциями прямых определяет истинную величину расстояния между прямыми а и b. Построения проекций перпендикуляра МК в исходной системе плоскостей проекций аналогичны рассмотренным ранее.

Для определения расстояния между скрещивающимися прямыми необходимо одну из прямых сделать проецирующей в новой системе плоскостей проекций.

Расстояние от прямой до плоскости, параллельной прямой, измеряется отрезком перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой на плоскость. Значит, достаточно плоскость общего положения преобразовать в положение проецирующей плоскости, взять на прямой точку, и решение задачи будет сведено к определению расстояния от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется отрезком перпендикуляра между ними, который легко строится, если плоскости займут проецирующее положение в новой системе плоскостей проекции, т. е. опять используется третья исходная задача преобразования чертежа.

Инженерная графика

© Красноярский государственный аграрный университет
© Управление информационных технологий
© Кафедра Технологии машиностроения