

	Часть вторая	Теоретические основы построения чертежа

Глава 4. Ощие понятия об образовании чертежа

Глава 4

Определение чертежа

Основные элементы геометрического пространства

Геометрические тела и их отображение

Вопросы

§ 24. Основные элементы геометрического пространства

В инженерной графике геометрическое пространство рассматривается как множество однородных элементов. К основным формообразующим элементам геометрического пространств» относятся точки, линии (прямые и кривые), поверхности (плоские и кривые).

Различают пространство евклидово и неевклидово. Евклидово пространство характеризуется тем, что расположенные в нем параллельные прямые линии или плоскости не пересекаются. Характеристики евклидова пространства не учитывают ряда других геометрических свойств пространства. В более широком понимании эти свойства учитывают проективное пространство, в котором параллельные между собой прямые (плоскости) пересекаются. Эти пересечения происходят в так называемой несобственной точке, которая расположена в бесконечности проективного пространства. Для примера можно привести две параллельные плоскости Σ и Σ₁ (рис. 42).

Рис. 42

Проведем в плоскости Σ прямую К, а в плоскости Σ₁ прямую L так, чтобы они были параллельны. В проективном пространстве эти прямые пересекаются вне собственной точки E∞. Далее в плоскости Σ проведем прямую m, а в плоскости Σ₁ прямую n так, чтобы они были параллельны. Эти прямые также пересекутся вне собственной точки F∞. Нетрудно видеть, что несобственные точки E∞ и F∞ определяют несобственную прямую d∞. Учитывая, что несобственные точки принадлежат и плоскости Σ, и плоскости Σ₁ можно утверждать, что несобственная прямая также принадлежит этим плоскостям. Таким образом, имеем случай, когда две параллельные плоскости Σ и Σ₁ пересекаются по бесконечно удаленной несобственной прямой d∞.

Характеристики проективного пространства позволяют в ряде случаев упростить формулировки, принятые для евклидова пространства. Это можно подтвердить следующим примером. В аксиомах евклидова пространства отмечается, что две прямые определяют единственную точку, если они не параллельны. Для проективного пространства оговорка "если они не параллельны" теряет смысл.

В общепринятом смысле пространство можно рассматривать как бесконечное. Однако геометрическое пространство может быть рассмотрено с позиций размерности. Так, множество положений точки, перемещающейся в заданном прямолинейном направлении, образует бесконечную прямую линию, представляющую собой одномерное пространство. Если же прямую перемещать в заданном направлении, не параллельном самой прямой, она образует бесконечную поверхность (в данном случае плоскость), представляющую собой двухмерное пространство. Задав плоскости (поверхности) направление, не параллельное ей, и перемещая ее в этом направлении, получим трехмерное Пространство. Таким же путем можно получить четырехмерное и в общем виде многомерное пространство.

Примем следующие обозначения элементов пространства. Точки будем обозначать прописными буквами латинского алфавитa (А, В, С) или цифрами (1, 2, 3); прямые - строчными буквами латинского алфавита (а, b, с), а плоскости — прописными буквами греческого алфавита (Γ, Λ, Π, Σ, Φ, Ψ, Ω).

Между элементами пространства существуют следующие отношения.

Тождественность обозначается знаком "≡". Например А ≡ В, что обозначает, что точка А совпадает с точкой В.

Инцидентность (или принадлежность) обозначается знаком "∈". Например, А ∈ а обозначает, что точка А принадлежит (инцидентна) прямой а.

Параллельность обозначается знаком "׀׀". Например, К ׀׀ L обозначает, что прямая K параллельна прямой L.

Перпендикулярность обозначается знаком "⊥". Например, а ⊥ Σ обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости Σ.

Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение, которую обозначают знаком "∪". Например, запись A ∪ B = а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а.

Операцию пересечение обозначают знаком "∩". Запись m ∩ n = К обозначает, что в результате пересечения прямых m и n получена точка К.

Инженерная графика