Тема 1.8. Всемирное тяготение
1.8.1. Закон всемирного тяготения
1.8.2. Сила тяжести, вес тела
1.8.3. Гравитационное поле - напряженность и потенциал
1.8.4. Гравитационное поле материальной точки
1.8.5. Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью гравитационного поля
1.8.6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
1.8.7. Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции
Все тела обладающие массой притягиваются друг к другу. Исаак Ньютон на основе многолетних данных астрономических наблюдений и законов динамики сформулировал закон всемирного тяготения: две любые материальные точки массами m1 и m2 притягиваются друг к другу вдоль линии соединяющей точки с силой прямо пропорциональной произведению масс точек и обратно пропорциональной квадрату расстояния (r) между ними:
где  - гравитационная постоянная. Из формулы видно, что величина гравитационного взаимодействия не зависит от среды, в которой находятся взаимодействующие тела, гравитационное взаимодействие существует и в вакууме. На рисунке1.8.1 изображено направление сил гравитационного взаимодействия двух материальных точек.
Рис. 1.8.1.
Земля не является "материальной точкой" для тел, расположенных на ее поверхности. Теоретически доказано, что сила, с которой Земля притягивает тела, расположенные вне ее, равна силе, которую создавала бы материальная точка массой (М), равной массе Земли, и расположенная в центре Земли. Назовем силой тяжести силу, с которой тело взаимодействует с планетой, вблизи которой оно находится.
В соответствии с законом всемирного тяготения на материальную точку массой (m) со стороны Земли будет действовать сила тяжести, равная
где R - радиус Земли, в месте расположения точки. Выражение (1.8.2.) можно переписать в виде:
где g - имеет смысл ускорения, с которым движутся под действием силы тяжести все материальные тела у поверхности Земли.
Согласно фундаментальному физическому закону - обобщенному закону Галилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорением. Оно изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах. Это обусловлено суточным вращением Земли, с одной стороны, и сплюснутостью Земли - с другой (экваториальный и полярный радиусы Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений g невелико, ускорение свободного падания, которое используется при решении практических задач, принимается равным 9,81 м/с2.
Пусть тело расположено на расстоянии (±h) от поверхности Земли (знак плюс - над поверхностью, знак минус - под поверхностью), тогда сила тяжести с удалением от поверхности Земли уменьшается, а при приближении к центру Земли - увеличивается:
Вес тела - сила, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору или подвес, удерживающую тело от свободного падения.
Вес тела проявляется, когда тело движется с ускорением отличным от ускорения свободного падения (g), т.е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением  , то к этому телу приложена дополнительная сила  , удовлетворяющая условию:
 .
Тогда вес тела 
Вес тела, движущегося с ускорением равен произведению массы тела на геометрическую разность ускорения свободного падения и ускорения тела.
Если тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести, то вес тела будет равен нулю:
Например,
1) вес тела равен нулю когда тело движется с ускорением равным ускорению силы тяжести ( ) в лифте вертикально вниз;
2) космический корабль движется по орбите, при этом его центростремительное ускорение  , направлено так же как ускорение силы тяжести вдоль радиуса к центру Земли, и вес всех тел находящихся в корабле равен нулю.
Закон всемирного тяготения определяет величину и направление силы всемирного тяготения, но не отвечает на вопрос как осуществляется это взаимодействие. Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения, или гравитационного поля.
Гравитационное поле - это особый вид материи, который создается вокруг любого тела обладающего массой, главное свойство гравитационного поля - действовать на тела, обладающие массой. Как и любое поле - гравитационное поле характеризуется с помощью двух физических величин:
1.Напряженность гравитационного поля ( ), силовая характеристика поля, равна силе, действующей со стороны поля на материальную точку единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой (это ничто иное как ускорение, с которым тело движется в поле тяготения):
Единица измерения напряженности гравитационного поля [g]=м/с2.
Линия напряженности гравитационного поля - линия, касательные, к каждой точке которой совпадает с вектором напряженности.
На всякое тело массой m, внесенное в поле, действует сила тяготения или сила тяжести, равная произведению массы тела на напряженность гравитационного поля в месте расположения тела:
Независимо от своей массы все тела под действием силы тяжести движутся с одинаковым ускорением ()
2. Потенциал гравитационного поля (φ) - энергетическая характеристика поля, скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля:
Единица измерения [φ]=Дж/кг.
Потенциальная энергия тела в гравитационном поле равна:
Тогда работа гравитационного поля по перемещению тела из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2 равна:
 ,
Работа гравитационного поля по перемещению тела между двумя точками не зависит от траектории движения тела, а определяется только разностью потенциалов начальной и конечной точек, на замкнутом пути работа гравитационного поля равна нулю. То есть, сила всемирного тяготения и сила тяжести являются консервативными.
Эквипотенциальные поверхности - поверхности, образованные точками поля, потенциал которых одинаков. Работа гравитационного поля при движении тела вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Можно дать второе определение потенциала поля тяготения - это работа по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность.
В качестве примера рассмотрим гравитационное поле материальной точки.
1. Напряженность гравитационного поля материальной точки массой (M) прямо пропорциональна массе точки, и убывает по величине обратно пропорционально расстоянию от этой точки (r), направлена вдоль лучей, сходящихся в точке - источнике поля:
2. Потенциал гравитационного поля материальной точки массой (M) - прямо пропорционален массе материальной точки, создающей поле и убывает обратно пропорционально расстоянию от источника поля:
Из формулы (1.8.11) вытекает, что геометрическое место точек с одинаковым потенциалом, т.е. эквипотенциальные поверхности данного поля - это сферические поверхности.
Наглядную картину поля представляет набор линий напряженности и эквипотенциальных поверхностей, например, гравитационное поле материальной точки представлено на рисунке (1.8.2).
Рис. 1.8.2.
Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на расстоянии r от источника гравитационного поля - тела массой (M):
 .
Мы уже упоминали, что гравитационное поле Земли можно рассматривать, как поле материальной точки расположенной в центре Земли. Тогда потенциальная энергия тела, находящегося на высоте h относительно Земли:
 ,
где R - радиус Земли. Так как
 , и, учитывая, что h<<R, получаем
 .
Потенциальная энергия тела на высоте h над поверхностью Земли, равна:
Рассмотрим взаимосвязь между потенциалом и напряженностью поля тяготения.
Элементарная работа, совершаемая полем при малом перемещении тела массой (m), равна
 .
С другой стороны  ,
где dl - элементарное перемещение.
Следовательно,  , или  .
Величина dφ/dl характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения, это ничто иное, как градиент потенциала.
Таким образом, напряженность гравитационного поля численно равна градиенту потенциала гравитационного поля и направлена в сторону его уменьшения:
На Земле приблизительно инерциальными являются системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно и прямолинейно относительно точек на поверхности Земли.
Системы отсчета, движущиеся с ускорением, относительно ИСО - это неинерциальные системы отсчета. В них возникают силы инерции, которые требуют корректировки второго закона Ньютона.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции  должны быть такими, чтобы вместе с силами  , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение  , каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета:
 .
Так как  ( - ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то
Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, рассматривают три варианта проявления этих сил.
1. Сила инерции возникает при ускоренном поступательном движении системы отсчета и направлена против вектора ускорения неинерциальной системы отсчета  :
Вы испытываете на себе действие силы инерции каждый раз когда автомобиль, в котором вы находитесь, разгоняется - и вас прижимает к спинке сиденья, и наоборот, когда тормозит - вы удаляетесь от спинки сиденья. Система отсчета, связанная с автомобилем движется с ускорением, вы неподвижны в этой системе отсчета и на вас действует сила инерции направленная противоположно ускорению автомобиля.
2. Центробежная сила инерции - сила инерции, действующая на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета:
где ω - угловая скорость вращения неинерциальной системы отсчета;  - радиус-вектор, характеризующий положение тела относительно оси вращения системы; центробежная сила направлена вдоль радиус-вектора в сторону от оси вращения системы.
Действию центробежной силы инерции подвергаются пассажиры в движущемся транспорте на поворотах; летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах, где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.
3. Сила Кориолиса - сила инерции, действующая на тело, поступательно движущееся со скоростью  , во вращающейся с угловой скоростью  системе отсчета:
равна произведению удвоенной массы тела на векторное произведение скорости поступательного движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости вращения системы отсчета. Эта сила направлена перпендикулярно векторам скорости тела и угловой скорости вращения системы в соответствии с правилом правого винта.
Рис. 1.8.3.
Пусть шарик массой m движется с постоянной скорость ν вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (рис.1.8.3). Если диск не вращается, то шарик движется вдоль радиуса и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении указанном стрелкой, то шарик катится по кривой ОВ, причем его скорость ν относительно диска изменяет свое направление. Это возможно, если на шарик действует сила перпендикулярная скорости ν - это и есть сила Кориолиса.
Рис. 1.8.4.
Земля представляет собой вращающуюся систему отсчета и действие силы Кориолиса объясняет ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис.1.8.4), то сила Кориолиса будет направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на восток. Если тело движется в юг, то сила Кориолиса также направлена вправо по отношению к направлению движения, и тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнашиваются быстрее, чем левые. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.
Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции):
Обратим еще раз внимание на то, что силы инерции вызываются не взаимодействием тел, а ускоренным движением системы отсчета, поэтому они не подчиняются третьему закону Ньютона. Два основных положения механики: 1) ускорение всегда вызывается силой; 2) сила всегда обусловлена взаимодействием между телами, в неинерциальных системах отсчета одновременно не выполняются.
Для любого из тел, находящихся в неинерциальной системе отсчета, силы инерции являются внешними; следовательно, здесь нет замкнутых систем. Это означает, что в неинерциальных системах отсчета не выполняются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.
Таким образом, силы инерции действуют только в неинерциальных системах отсчета, в инерциальных системах отсчета таких сил не существует.
Все тела независимо от их масс и химического состава, получают в данном гравитационном поле одинаковые ускорения. Поэтому в таком поле они движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия. Тем же свойством обладают свободно движущиеся тела, если их движение рассматривать относительно какой-либо неинерциальной системы отсчета.
Силы инерции, действующие на тела неинерциальной системе отсчета, пропорциональны их массам и при прочих равных условиях сообщают этим телам одинаковые ускорения. Поэтому в "поле сил инерции" эти тела движутся совершенно одинаково, если только одинаковы начальные условия.
При некоторых условиях силы тяготения и силы инерции невозможно различить. Например, представьте себе груз, подвешенный на пружине в неподвижном лифте, висящем в однородном поле тяжести - на груз действует сила тяжести и он растягивает пружину.
Пусть лифт настолько удален от Земли и прочих небесных тел, что он не испытывает гравитационных воздействий. Пусть кто-то тянет за трос лифта, сообщая ему постоянное ускорение ( ). Гравитационного поля в лифте нет, но зато есть сила инерции ( ). Груз, подвешенный на пружине растянет ее, как если бы он обладал весом  .
Все механические явления и движения в лифте будут в точности такими же, что и в неподвижном лифте, висящем в поле тяжести.
Никакой эксперимент, выполненный внутри лифта, не может отделить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Аналогия между силами тяготения и силами инерции лежит в основе принципа эквивалентности гравитационных сил и сил инерции.
Принципа эквивалентности Эйнштейна: все физические явления в поле сил тяготения происходят совершенно так же, как и в соответствующем поле сил инерции, если напряженности обоих полей в соответствующих точках пространства совпадают, а прочие начальные условия для рассматриваемых тел одинаковы.
Принцип эквивалентности гравитационных сил и сил инерции можно рассматривать как принцип эквивалентности гравитационной и инерционной масс тела.
| 
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,
,
.